二次方程式と一次方程式の連立方程式の解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求めることができます。
$例えば、y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2とy=x+6の連立方程式y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2-x-6=0の場合、解の和は-\displaystyle \frac{-1}{ \displaystyle \frac{1} {3}}=3$です。
$y=\displaystyle \frac{1} {3}x^2と連立を組む一次式の傾きが変わらない場合①、切片の値が変わったとしても-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}の値は変わりません。$
$そして、仮に①が原点を通るのであれば、和が３ですから交点のx座標は瞬時に３とわかります。$
詳しいことを知りたければ「解と係数の関係」で検索してください。
以下なぜか、説明します。
$y=ax^2$と$y=bx+c$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-c=0$の解です。
$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
$二つの解をたすとルートが消えて\displaystyle \frac{b}{a}$になります。
また、$y=ax^2$と$y=bx+d$の交点の$x$座標は$ax^2-bx-d=0$の解です。
$x=\displaystyle \frac{b±\sqrt{b^2-4ad} }{2a}$
$こちらも二つの解をたすと\displaystyle \frac{b}{a}になります。$
これらのことから一般的に「A+B=C+D」ということができます。
$なお、ax^2+bx+c=0の二つの解をα,βとすると次の等式が成り立ちます。$
$ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0$
解とは$x$の値ですから当然ですよね。
$で、a(x-α)(x-β)を展開するとa{x^2-(α+β)x+αβ}になりますから、$
$ax^2+bx+c=a{x^2-(α+β)x+αβ}=ax^2-a(α+β)x+aαβ=0です。$
すなわち恒等式の性質からxの係数について$b=-a(α+β)$が成り立ちますから、
$α+β=-\displaystyle \frac{b}{a}$が成り立ち、解の和は$-\displaystyle \frac{xの係数}{x^2の係数}$で求められることがわかります。