大学入試センタ―試験直前予想問題 数学ⅡB解説

第1問
[1]
(1)
半径2、弧長3の扇型の中心角は、$2π(=360°)×\displaystyle \frac{ 3 }{ 4π }(全周に対する弧長が占める割合)=\displaystyle \frac{ 3 }{ 2 }=\mathrm{ θ }_a$

半径3、弧長9の扇型の中心角は、$2π×\displaystyle \frac{ 9 }{ 6π }=3=\mathrm{ θ }_b$

1ラジアンは半径1、弧長1の中心角で$1=\mathrm{ θ }_c$

よって、$\mathrm{ θ }_c<\mathrm{ θ }_a<\mathrm{ θ }_b$

(2)
$\cos 2\theta=\cos (2\theta+\displaystyle \frac{ π }{ 3 })$

$単位円で考えると、コサインはx座標の値だから、$

$\cos 2\thetaと\cos (2\theta+\displaystyle \frac{ π }{ 3 })の値が同じになるとき、$

$2\thetaと2\theta+\displaystyle \frac{ π }{ 3 }はエックス軸とのなす角がそれぞれ等しい。$

$これらのことから、2\thetaの値を0≦2θ≦2π(与えられた条件0≦θ≦πの各辺を2倍する)$

$の範囲で探すと2θ=\displaystyle \frac{ 5π }{ 6 },\displaystyle \frac{ 11π }{ 6 }$

$したがって、θ=\displaystyle \frac{ 5π }{ 12 },\displaystyle \frac{ 11π }{ 12 }$

$\cos 2\theta=\cos (2\theta+\displaystyle \frac{ π }{ 3 })=\cos (3\theta+α)$

$は連立方程式だから、\cos 2\theta=\cos (3\theta+α)が成り立ち、0≦θ≦πでの解は上で求めたように$

$θ=\displaystyle \frac{ 5π }{ 12 },\displaystyle \frac{ 11π }{ 12 }である。$

$解を求めるθの範囲を-π<θ<πに広げると、θ=\displaystyle -\frac{ 7π }{ 12 },\displaystyle -\frac{ π }{ 12 },\displaystyle \frac{ 5π }{ 12 },\displaystyle \frac{ 11π }{ 12 }である。$

$これを\cos 2\theta=\cos (3\theta+α)に一つ一つ代入して\mathrm{ α }_1,\mathrm{ α }_2,\mathrm{ α }_3を求める。$

$\displaystyleθ=-\frac{ 7π }{ 12 }のとき、-\frac{ 7π }{ 6 }=3×-\frac{ 7π }{ 12 }+αから、α=\frac{ 21π }{ 12 }-\frac{ 14π }{ 12 }=\frac{ 7π }{ 12 }$-①

$\displaystyleθ=-\frac{ π }{ 12 }のとき、-\frac{ π }{ 6 }=3×-\frac{ π }{ 12 }+αから、α=\frac{ 3π }{ 12 }-\frac{ 2π }{ 12 }=\frac{ π }{ 12 }$-②

$θ=\displaystyle\frac{ 5π }{ 12 }のとき、\frac{ 5π }{ 6 }=3×\frac{ 5π }{ 12 }+αから、α=-\frac{ 15π }{ 12 }+\frac{ 10π }{ 12 }=-\frac{ 5π }{ 12 }$-③

$θ=\displaystyle\frac{ 11π }{ 12 }のとき、\frac{ 11π }{ 6 }=3×\frac{ 11π }{ 12 }+αから、α=-\frac{ 33π }{ 12 }+\frac{ 22π }{ 12 }=-\frac{ 11π }{ 12 }$-④

$ただし、上記4つのαにつき、\cos x=\cos (-x)であることを考慮に入れると、$

$α=±\frac{ 7π }{ 12 },±\frac{ π }{ 12 },±\frac{ 5π }{ 12 },±\frac{ 11π }{ 12 }である。$

$例えば、③の場合、\cos \frac{ 5π }{ 12 }=\cos (-\frac{ 5π }{ 12 })であるから、$

$-\frac{ 5π }{ 6 }=3×-\frac{ 5π }{ 12 }+αを満たすαも方程式の解である。$

$この時、α=\frac{ 15π }{ 12 }-\frac{ 10π }{ 12 }=\frac{ 5π }{ 12 }$であり、$

$同様に、①②④の値に逆符号がついた値もα解である。

$α>0から、\mathrm{ α }_1=\displaystyle \frac{ π }{ 12 }, \mathrm{ α }_2=\displaystyle \frac{ 5π }{ 12 }, \mathrm{ α }_3=\displaystyle \frac{ 7π }{ 12 }である。$

[2]
① $\log_{ 4 } xy≧\log_{ 2 } y+1$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 2 } xy }{ \log_{ 2 } 4 }≧\log_{ 2 } y+\log_{ 2 } 2$

$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \log_{ 2 } xy≧\log_{ 2 } 2y$

$\displaystyle \log_{ 2 } (xy)^ \frac{ 1 }{ 2 }≧\log_{ 2 } 2y$

$\displaystyle (xy)^ \frac{ 1 }{ 2 }≧2y$

$\displaystyle \sqrt{ xy }≧2y$

$x>0,y>0から、xy≧4y^2$

$y≠0から、x≧4y$

$ y>0から、\displaystyle 0<y≦ \frac{ y }{ 4 }$

② $\displaystyle 4^{x-1}+8≦9・2^{x-1}$

$\displaystyle 4^{x-1}=(2^2)^{x-1}=2^{2x-2}=2^{2x}・2^{-2}= \frac{ 1 }{ 4 }(2^x)^2$

$\displaystyle 2^{x-1}=2^x・2^{-1}= \frac{ 1 }{ 2 }・2^x$

したがって、

$与式=\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }・(2^x)^2-9・\frac{ 1 }{ 2 }・2^x+8$

$=\displaystyle (2^x)^2-18・2^x+32$

$=\displaystyle (2^x-2)(2^x-16)≦0$

$(2^x-2)(2^x-16)は2^xの2次関数だから、2≦2^x≦16$

1≦x≦4

$\displaystyle 領域y≦\frac{ 1 }{ 4 }x,1≦x≦4の範囲内で、整数m,nを用いてx=2^m,y=2^nと表せる点を考える。$
$\displaystyle この場合、まず該当するx座標は2^0=1,2^1=2,2^2=4$だけである。

$\displaystyle x座標が2^0=1のとき、yの最大値はy=\frac{ 1 }{ 4 }x上の点で$
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }=2^{-2}である。$
$\displaystyle 更にyの値が小さくになるに従い、2^{-3},2^{-4},2^{-5}…とyの値は無数に存在する。$

$\displaystyle x座標が2^1=2のとき、yの最大値はy=\frac{ 1 }{ 4 }x上の点で$
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }=2^{-1}である。$
$\displaystyle 更にyの値が小さくになるに従い、2^{-2},2^{-3},2^{-4}…とyの値は無数に存在する。$

$\displaystyle x座標が2^2=4のとき、yの最大値はy=\frac{ 1 }{ 4 }x上の点で$
$\displaystyle 1=2^0である。$
$\displaystyle 更にyの値が小さくになるに従い、2^{-1},2^{-2},2^{-3}…とyの値は無数に存在する。$

$\displaystyle よって、yの値で考えると、2^0×1個,2^{-1}×2個,2^{-2}×3個,2^{-3}×3個で点の数は9個となり、$

$\displaystyle 2^{-4}からは10個以上となる。$

$\displaystyle したがって、y>kを満たす点が10個以下となるkの値は2^{-4}=\frac{ 1 }{ 16 }である。$

$\displaystyle \displaystyle 同じ領域内でy=\frac{ 1 }{ 100 }xを満たすx=2^m,y=2^n(m,nは整数)の組を考えると、$

①$\displaystyle x=2^0=1のとき、\frac{ 1 }{ 2^7 }<\frac{ 1 }{ 100 }<\frac{ 1 }{ 2^6 }だから、$

$\displaystyle y≧\frac{ 1 }{ 100 }xを満たすyの最小値は2^{-6}である。$

$\displaystyle したがって、x=2^0=1のとき、\frac{ 1 }{ 100 }x≦y≦\frac{ 1 }{ 4 }xを満たすyの値は2^{-6}から2^{-2}までの5個。$

$\displaystyle ②x=2^1=2のとき、\frac{ 1 }{ 2^6 }<\frac{ 1 }{ 50 }<\frac{ 1 }{ 2^5 }だから、$

$\displaystyle y≧\frac{ 1 }{ 100 }xを満たすyの最小値は2^{-5}である。$

$\displaystyle したがって、x=2^1=2のとき、\frac{ 1 }{ 100 }x≦y≦\frac{ 1 }{ 4 }xを満たすyの値は2^{-5}から2^{-1}までの5個。$

$\displaystyle ③x=2^2=4のとき、\frac{ 1 }{ 2^5 }<\frac{ 1 }{ 25 }<\frac{ 1 }{ 2^4 }だから、$

$\displaystyle y≧\frac{ 1 }{ 100 }xを満たすyの最小値は2^{-4}である。$

$\displaystyle したがって、x=2^1=2のとき、\frac{ 1 }{ 100 }x≦y≦\frac{ 1 }{ 4 }xを満たすyの値は2^{-4}から2^0までの5個。$

$\displaystyle ①+②+③=15個$

第2問

$\displaystyle 直線ABの傾きは、A(a,a^2),B(b,b^2)を通ることから、$

$\displaystyle \frac{ b^2-a^2 }{ b-a }=\frac{ (b-a)(b+a) }{ b-a }=a+b$

$\displaystyle 今傾きが1だからa+b=1$

イウ
$\displaystyle Aから引いたx軸との平行線とBから引いたy軸との平行線の交点をOとすると、
$

$\displaystyle ABの傾きが1だから∠OAB=45°、AO=BO $

$\displaystyle したがって、AB:AO=3\sqrt{ 2 }:AO=\sqrt{ 2 }:1からAO=3=b-a $

$\displaystyle a+b=1,-a+b=3の連立方程式を解いて、加減法でa=-1,b=2
$

エオ
$\displaystyle \displaystyle \mathrm{ C }_2:y=-2x^2+px+qがA(-1,1),B(2,4)を通ることから、
$

$\displaystyle \displaystyle -2(-1)^2+(-1)p+q=1,-2(2)^2+2p+q=4の連立方程式を解いて、p=3,q=6
$

$\displaystyle 即ち、y=-2x^2+3x+6 $

カキクケコ
$\displaystyle グラフの形状から、x=2の前後で二つの曲線のyの値の大小が逆転するので、 $
$\displaystyle S=\int_k^2 \{ (-2x^2+3x+6)-x^2 \} dx+\int_2^{k+2} \{ x^2-(2x^2+3x+6) \} dx $
$\displaystyle \int_k^2 \{ (-2x^2+3x+6)-x^2 \} dx-\int_2^{k+2} \{ -x^2+(2x^2+3x+6) \} dx $
$\displaystyle =\left[ -x^3+\frac{ 3 }{ 2 }x^2+6x \right]_k^2-\left[ -x^3+\frac{ 3 }{ 2 }x^2+6x \right]_2^{k+2}$
$\displaystyle =2(-2^3+ \frac{ 3 }{ 2 }・2^2+6・2)-(-k^3+\frac{ 3 }{ 2 }k^2+6k)-\{ -(k+2)^3+\frac{ 3 }{ 2 }(k+2)^2+6(k+2) \}$
$\displaystyle =10+k^3- \frac{ 3 }{ 2 }k^2-6k-(-k^3-6k^2-12k-8+\frac{ 3 }{ 2 }k^2+6k+6+6k+12)$
$\displaystyle =20+k^3- \frac{ 3 }{ 2 }k^2-6k+k^3+6k^2+12k+8- \frac{ 3 }{ 2 }k^2-6k-6-6k-12
$
$\displaystyle =20+k^3- \frac{ 3 }{ 2 }k^2-6k+k^3+6k^2+12k+8- \frac{ 3 }{ 2 }k^2-6k-6-6k-12
$
$\displaystyle =2k^3+3k^2-6k+10$

サシス
$\displaystyle 3次式Sのグラフの極値を考える。
$

$\displaystyle 2k^3の係数3は正だからこのグラフは下から上がってきて、
$

$\displaystyle 極大値に達した後でいったん下降し、極小値に達した後で再度上昇する。
$

$\displaystyle 極値のx座標における傾きは0であるから、微分してその時のx座標を求める。
$

$\displaystyle S’=6k^2+6k-6=6(k^2+k-1)
$

$\displaystyle 6(k^2+k-1)=0の解は、解の公式からk= \frac{ -1±\sqrt{ 1+4 } }{ 2 }=\frac{ -1±\sqrt{ 5 } }{ 2 }
$

$\displaystyle したがって、S’=6(k- \frac{ -1+\sqrt{ 5 } }{ 2 })(k- \frac{ -1-\sqrt{ 5 } }{ 2 })
$

$\displaystyle から、極大値は \frac{ -1-\sqrt{ 5 } }{ 2 }におけるyの値、極小値は\frac{ -1+\sqrt{ 5 } }{ 2 }
$

$\displaystyle におけるyの値である。
$

$\displaystyle ここで、 \frac{ -1-\sqrt{ 5 } }{ 2 }<0<\frac{ -1+\sqrt{ 5 } }{ 2 }<2であるから、
$

$\displaystyle Sが最小になるときのkの値は\frac{ -1+\sqrt{ 5 } }{ 2 }である。
$

セソタ
Bを通る直線が$\mathrm{ C }_1,\mathrm{ C }_2,x≧0$で囲まれている(=封じ込められた)部分を2分割するのは、

Bにおける$\mathrm{ C }_2$の接線の傾きよりも大きくて、Bにおける$\mathrm{ C }_1$の接線の傾きより小さい時である。

$\displaystyle 前者は-4(2)+3=-5,後者は2(2)=4であるから、-5<m<4。
$

チツ
$\mathrm{ C }_1,\mathrm{ C }_2,x≧0$で囲まれている(=封じ込められた)部分の面積は

$\displaystyle S=2k^3+3k^2-6k+10のkに0を代入した時のSの値であり、10である。$

線分OBと$\mathrm{ C }_1$に囲まれた面積は、

$\displaystyle \int_0^2 ( 2x-x^2 )=\left[ – \frac{ 1 }{ 3 }x^3+x^2 \right]_0^2
$

$\displaystyle =- \frac{ 1 }{ 3 }(2^3)+2^2=\frac{ -8+12 }{ 3 }= \frac{ 4 }{ 3 }$

Bを通る直線lのy切片をRとすると、直線lによって領域Eが2等分されるならば、

$\displaystyle ⊿RBO+\frac{ 4 }{ 3 }=\frac{ 10 }{ 2 }=5が成り立つから、
$
$\displaystyle ⊿RBO=\frac{ 11 }{ 3 }
$
$\displaystyle ORを底辺と考えると、高さは2だから、OR×2×\frac{ 1 }{ 2 }=\frac{ 11 }{ 3 }
$
$\displaystyle OR=\frac{ 11 }{ 3 }から直線lは(0,\frac{ 11 }{ 3 }),(2,4)を通る直線である。
$

よって、

$\displaystyle y=\frac{ 4-\displaystyle \frac{ 11 }{ 3 } }{ 2 }x+ \frac{ 11 }{ 3 }
$
$\displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 }x+ \frac{ 11 }{ 3 }$

$\displaystyle したがって、m= \frac{ 1 }{ 6 }$

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