鋭角三角形になるための条件

中心Bの円の半径を3、Aは円の円周を$A_1からA_5$まで移動する

ものとし、 BC=5とする。∠CはAB=3で最大辺ではないためAC

がいかなる長さをとろうが 常に鋭角である。赤は直角三角形

($⊿A_1BC$は∠B=90°、$⊿A_4BC$は ∠A=90°)

緑は鋭角三角形、紫は鈍角三角形である。

Aが円周上の$\mathrm{ A }_1$の位置にあるとき、三平方の定理から、

$\mathrm{ A }_1C^2= \mathrm{ A }_1B^2+BC^2$

∠Bが鋭角になるのは、 $\mathrm{ A }_1$ が円周上を右に移動して、例えば $\mathrm{ A }_2$ の位置に来た時である。

このとき、図から $\mathrm{ A }_2C< \mathrm{ A }_1C$は明らかだから、

$\mathrm{ A }_2C^2< \mathrm{ A }_1C^2 =\mathrm{ A }_1B^2+BC^2$

即ち、$\mathrm{ A }_2C^2< 3^2+5^2=34$

したがって、$AC<\sqrt{ 34 }$のとき∠Bは鋭角になる。-①

$また、\mathrm{ A }_4の位置で∠B \mathrm{ A }_4C=90°になり、$

$\mathrm{ A }_4C^2=BC^2- \mathrm{ A }_4B^2$

$A_4の手前のA_3では図からA_3C>A_4Cは明らかだから、$

$A_3C^2>A_4C2=BC^2-A_4B^2=5^2-3^2=25-9=16$

したがって、AC>4のとき∠Cは鋭角になる。 -②

①と②からこの⊿ABCが鋭角三角形となるのは、$4<AC<\sqrt{ 34 }$のとき

即ち、 $4<x<\sqrt{ 34 } $

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