部屋に入れる入れ方は何通りでしょうか？ただし、0人の部屋があってもいいです。
3部屋をABCとして、この順番に6人を入れるすべての場合を考えてみる。
Aに0人、Bに0人、Cに6人入れる場合（以下006→と表す） ${}_6 \mathrm{ C }_0・ {}_6 \mathrm{ C }_0 ・ {}_6 \mathrm{ C }_6=1通り$
二つの部屋が0人のときは、三つ目の部屋が6人の1通り－①。
一つの部屋が0人のときは、二つの部屋のいずれかが1人、2人、3人、4人、5人、6人の場合が考えられるが、4人の場合は2人の場合と、5人の場合は1人の場合と、6人の場合は①の場合とそれぞれ重複するので3通り-②。
一つの部屋が1人の時は、二つの部屋のいずれかが0人、1人、2人、3人、4人、5人の場合が考えられるが、0人の場合は②の1人の場合と、3人の場合は2人の場合と、4人の場合は1人の場合と、5人の場合は②の1人の場合と重複するので2通り-③
一つの部屋が2人の時は 、二つの部屋のいずれかが0人、1人、2人、3人、4人の場合が考えられるが、0人の場合は②の2人の場合と、1人の場合は③の2人の場合と、3人の場合も③の2人の場合と、4人の場合は②の2人の場合と重複するので1通り-④
一つの部屋が2人、3人、4人、5人の時は上記①~④すべての組み合わせと重複する。
以上のことから、三つの部屋に入れる人数が合計で6人になる組み合わせは、(0,0,6),(0,1,5),(0,2,4),(0,3,3),(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)の7通りある。
（0,0,6）のとき、006の並べ方は重複順列で、$\frac{ 3! }{ 2! }$ 通り 。したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_0・ {}_6 \mathrm{ C }_0・ \frac{ 3! }{ 2! } =3通り$
（0,1,5）のとき、並べ方は3!通り。したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_0・ {}_6 \mathrm{ C }_1・ 3! =36通り$
（0,2,4）のとき、並べ方は3!通り。したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_0・ {}_6 \mathrm{ C }_2・ 3! =90通り$
（0,3,3）のとき、並べ方は $\frac{ 3! }{ 2! }$通り。 したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_0・ {}_6 \mathrm{ C }_3・\frac{ 3! }{ 2! } =60通り$
（1,1,4）のとき、並べ方は $\frac{ 3! }{ 2! }$通り。 したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_1・ {}_5 \mathrm{ C }_1・ \frac{ 3! }{ 2! } =90通り$
（1,2,3）のとき、並べ方は 3!通り。 したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_1・ {}_5 \mathrm{ C }_2・ 3! =360通り$
（2,2,2）のとき、並べ方は 1通り。したがって、$ {}_6 \mathrm{ C }_2・ {}_4 \mathrm{ C }_2・ 1 =90通り$
よって、3+36+90+60+90+360+90=729通り