$\displaystyle \frac{1}{3}$＝$\displaystyle \frac{1}{5}$+$\displaystyle \frac{1}{a}$+$\displaystyle \frac{1}{b}$ 条件a＜bでa,bの組み合わせを一つ考える。
（視点・考え方）
3と5の最小公倍数15を分母とし、$\displaystyle \frac{1}{3}$になる分数を小さい順に探して、条件に当てはまるか考える。
$\displaystyle \frac{5}{15}$のとき、
$\displaystyle \frac{1}{3}$＝$\displaystyle \frac{5}{15}$＝$\displaystyle \frac{3+1+1}{15}$＝$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$
この場合、a=15,b=15となり、条件a＜bを満たさなので×
$\displaystyle \frac{10}{30}$のとき、
$\displaystyle \frac{1}{3}$＝$\displaystyle \frac{10}{30}$＝$\displaystyle \frac{6+A+B}{30}$-式1
A+B=10-6=4になる組み合わせを小さいほうから考えると、
A=1,B=3-① またはA=2,B=2-② またはA=3,B=1-③
①のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+1+3}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{30}$+$\displaystyle \frac{1}{10}$
a＞bになるからダメ
②のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+2+2}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$
a=bになるからダメ
③のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+3+1}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{10}$+$\displaystyle \frac{1}{30}$
a＞bになり条件を満たす。
よって、aとbの何通りかの組み合わせの中の一つにはa=10,b=30がある。
解答例ではa=12,b=20としているが、a=10,b=30の方が早く見つかります。