単位分数

$\displaystyle \frac{1}{3}$=$\displaystyle \frac{1}{5}$+$\displaystyle \frac{1}{a}$+$\displaystyle \frac{1}{b}$ 条件条件a<b

(視点・考え方)
3と5の最小公倍数15を分母とし、$\displaystyle \frac{1}{3}$になる分数を小さい順に探して、条件に当てはまるか考える。

$\displaystyle \frac{5}{15}$のとき、

$\displaystyle \frac{1}{3}$=$\displaystyle \frac{5}{15}$=$\displaystyle \frac{3+1+1}{15}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$

この場合、a=15,b=15となり、条件a<bを満たさなので×

$\displaystyle \frac{10}{30}$のとき、

$\displaystyle \frac{1}{3}$=$\displaystyle \frac{10}{30}$=$\displaystyle \frac{6+A+B}{30}$-式1

A+B=10-6=4になる組み合わせを小さいほうから考えると、
A=1,B=3-① またはA=2,B=2-② またはA=3,B=1-③

①のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+1+3}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{30}$+$\displaystyle \frac{1}{10}$

a>bになるからダメ

②のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+2+2}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$+$\displaystyle \frac{1}{15}$

a=bになるからダメ

③のとき、
式1=$\displaystyle \frac{6+3+1}{30}$=$\displaystyle \frac{1}{3}$+$\displaystyle \frac{1}{10}$+$\displaystyle \frac{1}{30}$

a>bになり条件を満たす。

よって、aとbの何通りかの組み合わせの中の一つにはa=10,b=30がある。

解答例ではa=12,b=20としているが、a=10,b=30の方が早く見つかります。

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