(1,2)と(5,6)を通る直線は、
傾きは$\displaystyle\frac{5-1}{6-2}=1$
$x=1$のとき$y=2$ですから$y=(x-1)+2$
また、$x=5$のとき$y=6$ですから、$y=(x-5)+6$とも表すことができます。
$x$と$y$に値を代入して等式が成り立つような形に無理くりしてしまう…そんな感覚です。
そして、これらどちらも$y=x+1$になります。
一般に、
$(a,b)$と$(c,d)$を通る直線の式は、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$または$y=\displaystyle\frac{b-d}{a-c}(x-c)+d$と表すことができます。
また、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x+A-①$とおき、$(a,b)$を代入すると、
$A=-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$ですから、
①は$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}x-\displaystyle\frac{d-b}{c-a}a+b$
すなわち、$y=\displaystyle\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b$となります。